የምዕራፍ ማስታወሻዎችና የመልመጃ ጥያቄዎች

የ10ኛ ክፍል ሒሳብ ምዕራፍ 7፦ Coordinate Geometry

በዚህ ገጽ ያለው ሁሉ ለ10ኛ ክፍል የሒሳብ መፅሐፍ ምዕራፍ 7 ነው፦ ምዕራፉ የሚሸፍነው፣ አጭር ማስታወሻዎቹ፣ የመልመጃ ጥያቄዎች ከመልሶቻቸው ጋር፣ እና ቪዲዮ ባለበት የትምህርቱ ቪዲዮ።

5
ካርዶች: 10
የምዕራፍ 7 የመልመጃ ጥያቄዎች

ምዕራፍ 7 የሚሸፍነው

1.Distance between two points
2.Division of a line segment
3.Equation of a line
4.Slopes of parallel and perpendicular lines
5.Applications

የምዕራፍ 7 አጭር ማስታወሻዎች

በ10ኛ ክፍል የሒሳብ ገጽ ላይ በዚህ ምዕራፍ ሥር የተመዘገቡት ካርዶች። አንድ በአንድ ይክፈቱ።

የሶስት ማዕዘን Area በCoordinate Planeቀመር

A = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|

A = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|

$A$: የሶስት ማዕዘኑ ስፋት $\text{square units}$
$x_1, y_1$: የመጀመሪያው ጫፍ መጋጠሚያዎች $\text{units}$
$x_2, y_2$: የሁለተኛው ጫፍ መጋጠሚያዎች $\text{units}$
$x_3, y_3$: የሦስተኛው ጫፍ መጋጠሚያዎች $\text{units}$

መቼ እንደሚጠቀሙበት

የሶስቱ ማዕዘናት Coordinates ሲሰጡ የሶስት ማዕዘኑን Area ለማስላት ይጠቀሙበት።

ይጠንቀቁ

ሁልጊዜ መጨረሻ ላይ ፍፁም እሴትን (absolute value) ይውሰዱ፤ Area አሉታዊ አይሆንም፣ ውጤቱ ዜሮ ከመጣ ነጥቦቹ በአንድ መስመር ላይ (Collinear) ናቸው።

ከGrade 10 Mathematics፣ ከገጽ 328 ጀምሮ የተዘጋጀ፤ ከመውጣቱ በፊት ሁለት ጊዜ ተረጋግጧል

የDistance ቀመርቀመር

d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

$d$: በሁለት ነጥቦች መካከል ያለው ርቀት $\text{units}$
$x_1, y_1$: የመጀመሪያው ነጥብ መጋጠሚያዎች $\text{units}$
$x_2, y_2$: የሁለተኛው ነጥብ መጋጠሚያዎች $\text{units}$

መቼ እንደሚጠቀሙበት

በCartesian plane ውስጥ ባሉ በማንኛውም ሁለት ነጥቦች መካከል ያለውን ርቀት ለማስላት ይጠቀሙበት።

ይጠንቀቁ

የተለያዩ ነጥቦችን Coordinate አያቀላቅሉ፤ ስኩዌር ከማድረግዎ በፊት xን ከx እንዲሁም yን ከy ይቀንሱ።

ከGrade 10 Mathematics፣ ከገጽ 328 ጀምሮ የተዘጋጀ፤ ከመውጣቱ በፊት ሁለት ጊዜ ተረጋግጧል

የParallel እና Perpendicular መስመሮች ደንብየማጣቀሻ ሠንጠረዥParallel lines · Perpendicular lines

Line Relationship	Slope Condition	Geometric Meaning
Parallel lines	$m_1 = m_2$	እኩል የማዘንበል አንግሎች
Perpendicular lines	$m_1 \cdot m_2 = -1$	በ90 ዲግሪ አንግል ይቆራረጣሉ

መቼ እንደሚጠቀሙበት

ሁለት መስመሮች Parallel ወይም Perpendicular መሆናቸውን ለማረጋገጥ ወይም የነሱን Equation ለመፈለግ ይጠቀሙበት።

ይጠንቀቁ

የPerpendicular ማባዛት ደንብ የሚሰራው ቋሚ ወይም አግድም ላልሆኑ መስመሮች ብቻ ነው። ቋሚ መስመር ከአግድም መስመር ጋር ሁልጊዜ Perpendicular ነው።

ከGrade 10 Mathematics፣ ከገጽ 328 ጀምሮ የተዘጋጀ፤ ከመውጣቱ በፊት ሁለት ጊዜ ተረጋግጧል

የSection Formula ቀመርቀመር

(x_0, y_0) = \left(\frac{p x_2 + q x_1}{p + q}, \frac{p y_2 + q y_1}{p + q}\right)

(x_0, y_0) = \left(\frac{p x_2 + q x_1}{p + q}, \frac{p y_2 + q y_1}{p + q}\right)

$x_0, y_0$: የከፋዩ ነጥብ መጋጠሚያዎች $\text{units}$
$p : q$: የውስጥ ክፍፍል ንፅፅር $\text{dimensionless}$
$x_1, y_1$: የመጀመሪያው የጫፍ ነጥብ መጋጠሚያዎች $\text{units}$
$x_2, y_2$: የሁለተኛው የጫፍ ነጥብ መጋጠሚያዎች $\text{units}$

መቼ እንደሚጠቀሙበት

አንድን የline segment በተሰጠ የp:q ንፅፅር ውስጥ ለውስጥ የሚከፍል ነጥብ Coordinates ለማግኘት ይጠቀሙበት።

ይጠንቀቁ

የመጀመሪያውን የRatio ክፍል p ከሁለተኛው ነጥብ Coordinates ጋር፤ የሁለተኛውን የRatio ክፍል q ከመጀመሪያው ነጥብ ጋር ያባዙ።

ከGrade 10 Mathematics፣ ከገጽ 328 ጀምሮ የተዘጋጀ፤ ከመውጣቱ በፊት ሁለት ጊዜ ተረጋግጧል

የSlope እና የAngle of Inclination ቀመርቀመር

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \tan\theta

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \tan\theta

$m$: የመስመሩ ስሎፕ $\text{dimensionless}$
$\theta$: የዝንባሌ ማዕዘን $^{\circ}$
$x_1, y_1$: የመጀመሪያው ነጥብ መጋጠሚያዎች $\text{units}$
$x_2, y_2$: የሁለተኛው ነጥብ መጋጠሚያዎች $\text{units}$

መቼ እንደሚጠቀሙበት

የአንድን ቀጥተኛ መስመር Slope ከሁለት ነጥቦች ወይም ከአዎንታዊው x axis ጋር ካለው አንግል ለማስላት ይጠቀሙበት።

ይጠንቀቁ

x1 እና x2 እኩል የሆኑበት ቀጥ ያለ Vertical መስመር Slope የለውም እንጂ ዜሮ አይደለም፤ የHorizontal መስመር Slope ግን ዜሮ ነው።

ከGrade 10 Mathematics፣ ከገጽ 328 ጀምሮ የተዘጋጀ፤ ከመውጣቱ በፊት ሁለት ጊዜ ተረጋግጧል

የምዕራፍ 7 የመልመጃ ጥያቄዎች

በዚህ ምዕራፍ ላይ የተጻፉ 10 የምርጫ ጥያቄዎች፣ እያንዳንዳቸው መልሱና ምክንያቱ አላቸው። መልሱን ከመክፈትዎ በፊት ይሞክሩ። ጥያቄዎቹ በእንግሊዝኛ ናቸው።

ጥያቄ 1

Find the distance between the points C(2, 3) and D(6, 0).

A.5 units
B.7 units
C.25 units
D.1 unit

መልሱንና ምክንያቱን ያሳዩ

መልስ፦ A 5 units

ምክንያቱ

Use the distance formula d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²).

Here x₂ − x₁ = 6 − 2 = 4 and y₂ − y₁ = 0 − 3 = −3.

d = √(4² + (−3)²) = √(16 + 9) = √25 = 5 units.

ጥያቄ 2

Find the midpoint of the line segment joining the points (2, 5) and (8, 1).

A.(5, 3)
B.(3, 2)
C.(10, 6)
D.(6, 3)

መልሱንና ምክንያቱን ያሳዩ

መልስ፦ A (5, 3)

ምክንያቱ

The midpoint formula is ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2).

x = (2 + 8)/2 = 5 and y = (5 + 1)/2 = 3. So the midpoint is (5, 3).

ጥያቄ 3

Find the gradient (slope) of the line passing through the points (2, 3) and (6, 11).

A.2
B.1/2
C.−2
D.4

መልሱንና ምክንያቱን ያሳዩ

መልስ፦ A 2

ምክንያቱ

Gradient m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) = (11 − 3)/(6 − 2) = 8/4 = 2.

ጥያቄ 4

A line passes through the points (5, −2) and (5, 8). What is its gradient?

A.0
B.1
C.No gradient, because the line is vertical
D.−1

መልሱንና ምክንያቱን ያሳዩ

መልስ፦ C No gradient, because the line is vertical

ምክንያቱ

Both points have x = 5, so the x-coordinates are equal. The line is vertical (parallel to the y-axis). A vertical line has no slope, so it has no gradient.

ጥያቄ 5

A point R divides the line segment joining A(1, 2) and B(4, 5) internally in the ratio 1 : 2. Find the coordinates of R.

A.(2, 3)
B.(3, 4)
C.(1, 2)
D.(3, 2)

መልሱንና ምክንያቱን ያሳዩ

መልስ፦ A (2, 3)

ምክንያቱ

Use the section formula with p = 1 and q = 2, where P(x₁, y₁) = (1, 2) and Q(x₂, y₂) = (4, 5).

x = (p·x₂ + q·x₁)/(p + q) = (1·4 + 2·1)/3 = 6/3 = 2.

y = (p·y₂ + q·y₁)/(p + q) = (1·5 + 2·2)/3 = 9/3 = 3.

So R = (2, 3).

ጥያቄ 6

A straight line passes through the points (0, 5) and (2, 9). Which equation describes this line?

A.y = 2x + 5
B.y = 5x + 2
C.y = 2x − 5
D.y = −2x + 5

መልሱንና ምክንያቱን ያሳዩ

መልስ፦ A y = 2x + 5

ምክንያቱ

First find the slope: m = (9 − 5)/(2 − 0) = 4/2 = 2.

Use the slope-intercept form y = mx + b. The point (0, 5) gives b = 5, because x = 0 makes y = b.

So the equation is y = 2x + 5.

ጥያቄ 7

Find the equation of the line that passes through the point (2, 1) and is parallel to the line y = 3x − 4.

A.y = 3x − 5
B.y = −3x + 7
C.y = 3x + 1
D.y = x/3 − 5

መልሱንና ምክንያቱን ያሳዩ

መልስ፦ A y = 3x − 5

ምክንያቱ

Parallel lines have the same slope, so m = 3 (the slope of y = 3x − 4).

Use the point-slope form y − y₁ = m(x − x₁) with (x₁, y₁) = (2, 1):

y − 1 = 3(x − 2), so y − 1 = 3x − 6, and y = 3x − 5.

ጥያቄ 8

A line has gradient 2/3. What is the gradient of a line that is perpendicular to it?

A.−3/2
B.3/2
C.−2/3
D.2/3

መልሱንና ምክንያቱን ያሳዩ

መልስ፦ A −3/2

ምክንያቱ

Two non-vertical lines are perpendicular when m₁ × m₂ = −1.

So m₂ = −1 ÷ (2/3) = −1 × (3/2) = −3/2.

ጥያቄ 9

Find the area of the triangle with vertices (2, 3), (0, −1) and (3, −5).

A.10 square units
B.20 square units
C.5 square units
D.12 square units

መልሱንና ምክንያቱን ያሳዩ

መልስ፦ A 10 square units

ምክንያቱ

Use A = ½ |x₁(y₂ − y₃) + x₂(y₃ − y₁) + x₃(y₁ − y₂)|.

Substitute (x₁, y₁) = (2, 3), (x₂, y₂) = (0, −1), (x₃, y₃) = (3, −5):

2(−1 + 5) + 0(−5 − 3) + 3(3 + 1) = 8 + 0 + 12 = 20.

A = ½ × 20 = 10 square units.

ጥያቄ 10

In a city grid, each unit is 1 km. A bus stop is at point A(−2, 3) and a school is at point B(4, −5). How far is the school from the bus stop in a straight line?