የምዕራፍ ማስታወሻዎችና የመልመጃ ጥያቄዎች

የ11ኛ ክፍል ሒሳብ ምዕራፍ 1፦ ሪሌሽኖች እና ፈንክሽኖች

በዚህ ገጽ ያለው ሁሉ ለ11ኛ ክፍል የሒሳብ መፅሐፍ ምዕራፍ 1 ነው፦ ምዕራፉ የሚሸፍነው፣ አጭር ማስታወሻዎቹ፣ የመልመጃ ጥያቄዎች ከመልሶቻቸው ጋር፣ እና ቪዲዮ ባለበት የትምህርቱ ቪዲዮ።

8
ካርዶች: 10
የምዕራፍ 1 የመልመጃ ጥያቄዎች: 1–82
የምዕራፍ 1 የመፅሐፍ ገጾች

ምዕራፍ 1 የሚሸፍነው

1.Relations
2.Inverse of Relations and Their Graphs
3.Types of Functions
4.Composition of Functions
5.Inverse Functions and their Graphs
6.Applications of Relations and Functions

የምዕራፍ 1 አጭር ማስታወሻዎች

በ11ኛ ክፍል የሒሳብ ገጽ ላይ በዚህ ምዕራፍ ሥር የተመዘገቡት ካርዶች። አንድ በአንድ ይክፈቱ።

የአብሶሊዩት ቫልዩ ፈንክሽንቀመር

|a| = \begin{cases} a & \text{if } a > 0 \\ 0 & \text{if } a = 0 \\ -a & \text{if } a < 0 \end{cases}

|a| = \begin{cases} a & \text{if } a > 0 \\ 0 & \text{if } a = 0 \\ -a & \text{if } a < 0 \end{cases}

$a$: የሪል ቁጥር $dimensionless$
$|a|$: የ a አብሶሊዩት ቫልዩ $dimensionless$

መቼ እንደሚጠቀሙበት

የማንኛውንም ሪል ቁጥር አብሶሊዩት ቫልዩ ለማስላት ወይም በባሮቹ ውስጥ ያሉትን ለማቃለል ይህን ይጠቀሙ።

ይጠንቀቁ

የማንኛውም ሪል ቁጥር አብሶሊዩት ቫልዩ ሁልጊዜም ዜሮ ወይም አዎንታዊ ነው።

ከGrade 11 Mathematics፣ ገጽ 1-82 የተዘጋጀ፤ ከመውጣቱ በፊት ሁለት ጊዜ ተረጋግጧል

የግንኙነት Domain እና Rangeሕግ

መቼ እንደሚጠቀሙበት

በቅደም ተከተል ጥንዶች ስብስብ ከተሰጠ ግንኙነት Domain እና Range ለመለየት ይጠቀሙበት።

ይጠንቀቁ

Domain የመጀመሪያዎቹን መጋጠሚያዎች ብቻ የሚይዝ ሲሆን Range ደግሞ ሁለተኛዎቹን መጋጠሚያዎች ብቻ ይይዛል። በስብስቡ ውስጥ የተደገሙ አባላትን ደግመው አይጻፉ።

ከGrade 11 Mathematics፣ ገጽ 1-82 የተዘጋጀ፤ ከመውጣቱ በፊት ሁለት ጊዜ ተረጋግጧል

የቅደም ተከተል ጥንዶች እኩልነትየተለመደ ስህተት

መቼ እንደሚጠቀሙበት

ሁለት የቅደም ተከተል ጥንዶች እኩል መሆናቸውን ለማረጋገጥ ወይም ያልታወቁ መጋጠሚያዎችን ለማግኘት ይጠቀሙበት።

ይጠንቀቁ

በቅደም ተከተል ጥንድ (x, y) ውስጥ የቦታ ቅደም ተከተል ወሳኝ ነው። (x, y) ከ (y, x) ጋር እኩል የሚሆነው x እና y እኩል ሲሆኑ ብቻ ነው።

ከGrade 11 Mathematics፣ ገጽ 1-82 የተዘጋጀ፤ ከመውጣቱ በፊት ሁለት ጊዜ ተረጋግጧል

የተገላቢጦሽ ፈንክሽን ግራፍዘዴ

መቼ እንደሚጠቀሙበት

ከመጀመሪያው ፈንክሽን ግራፍ በመነሳት የተገላቢጦሽ ፈንክሽን ግራፍ ለመንደፍ ይጠቀሙበት።

ይጠንቀቁ

የ x እና y መጋጠሚያዎችን በመቀያየር ነጥቦቹን በ y = x መስመር ላይ ያንጸባርቁ።

ከGrade 11 Mathematics፣ ገጽ 1-82 የተዘጋጀ፤ ከመውጣቱ በፊት ሁለት ጊዜ ተረጋግጧል

የተገላቢጦሽ ፈንክሽን ማረጋገጫሕግ

መቼ እንደሚጠቀሙበት

ሁለት የተሰጡ ፈንክሽኖች f እና g የእርስ በእርስ ተገላቢጦሽ መሆናቸውን ለማረጋገጥ ይጠቀሙበት።

ይጠንቀቁ

ሁለቱንም ውህዶች ማረጋገጥ አለብዎት። አንዱን አቅጣጫ ብቻ ማሳየት በቂ አይደለም።

ከGrade 11 Mathematics፣ ገጽ 1-82 የተዘጋጀ፤ ከመውጣቱ በፊት ሁለት ጊዜ ተረጋግጧል

የተገላቢጦሽ ፈንክሽን ምልክት ስህተትየተለመደ ስህተት

መቼ እንደሚጠቀሙበት

የተገላቢጦሽ ፈንክሽን f^{-1}(x) ትርጉምን ለመረዳት ይጠቀሙበት።

ይጠንቀቁ

የተገላቢጦሽ ፈንክሽን f^{-1}(x) ከ -f(x) ወይም ከ 1/f(x) ጋር እኩል አይደለም።

ከGrade 11 Mathematics፣ ገጽ 1-82 የተዘጋጀ፤ ከመውጣቱ በፊት ሁለት ጊዜ ተረጋግጧል

አሉታዊ ራሽናል የፓወር ፈንክሽኖችየማጣቀሻ ሠንጠረዥf(x) = x^-1/n · f(x) = x^-m/n

ፈንክሽን	m	n	ዶሜን	ሬንጅ
$f(x) = x^{-1/n}$	$1$	even	$(0, \infty)$	$(0, \infty)$
$f(x) = x^{-1/n}$	$1$	odd	$\mathbb{R} \setminus \{0\}$	$\mathbb{R} \setminus \{0\}$
$f(x) = x^{-m/n}$	odd	even	$(0, \infty)$	$(0, \infty)$
$f(x) = x^{-m/n}$	even	odd	$\mathbb{R} \setminus \{0\}$	$(0, \infty)$

መቼ እንደሚጠቀሙበት

ይህን ሰንጠረዥ አሉታዊ ራሽናል አርቢ ላላቸው የፓወር ፈንክሽኖች ዶሜን እና ሬንጅ ለማወቅ ይጠቀሙበት።

ይጠንቀቁ

ዜሮ ለአሉታዊ ፓወር ፈንክሽኖች በዶሜን ውስጥ አይካተትም ምክንያቱም ለዜሮ ማካፈል አይቻልም።

ከGrade 11 Mathematics፣ ገጽ 1-82 የተዘጋጀ፤ ከመውጣቱ በፊት ሁለት ጊዜ ተረጋግጧል

አዎንታዊ ራሽናል የፓወር ፈንክሽኖችየማጣቀሻ ሠንጠረዥf(x) = x^1/n · f(x) = x^m/n

ፈንክሽን	m	n	ዶሜን	ሬንጅ
$f(x) = x^{1/n}$	$1$	even	$[0, \infty)$	$[0, \infty)$
$f(x) = x^{1/n}$	$1$	odd	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$
$f(x) = x^{m/n}$	odd	even	$[0, \infty)$	$[0, \infty)$
$f(x) = x^{m/n}$	even	odd	$\mathbb{R}$	$[0, \infty)$

መቼ እንደሚጠቀሙበት

ይህን ሰንጠረዥ አዎንታዊ ራሽናል አርቢ ላላቸው የፓወር ፈንክሽኖች ዶሜን እና ሬንጅ ለማግኘት ይጠቀሙበት።

ይጠንቀቁ

ታችኛው ክፍል n ኢቭን ሲሆን አሉታዊ ቁጥሮችን በዶሜን ውስጥ ማስገባት አይቻልም።

ከGrade 11 Mathematics፣ ገጽ 1-82 የተዘጋጀ፤ ከመውጣቱ በፊት ሁለት ጊዜ ተረጋግጧል

የምዕራፍ 1 የመልመጃ ጥያቄዎች

በዚህ ምዕራፍ ላይ የተጻፉ 10 የምርጫ ጥያቄዎች፣ እያንዳንዳቸው መልሱና ምክንያቱ አላቸው። መልሱን ከመክፈትዎ በፊት ይሞክሩ። ጥያቄዎቹ በእንግሊዝኛ ናቸው።

ጥያቄ 1

Find the domain of the relation R = {(45, 65), (48, 68), (41, 62), (46, 66), (50, 70)}.

A.{41, 45, 46, 48, 50}
B.{62, 65, 66, 68, 70}
C.{41, 45, 46, 48, 50, 62, 65, 66, 68, 70}
D.{45, 48, 41, 46, 50, 65}

መልሱንና ምክንያቱን ያሳዩ

መልስ፦ A {41, 45, 46, 48, 50}

ምክንያቱ

The domain is the set of all first components of the ordered pairs. The first components are 41, 45, 46, 48 and 50. The set {62, 65, 66, 68, 70} is the range, not the domain.

ጥያቄ 2

Let R = {(1, 3), (2, 5), (3, 7), (4, 11), (5, 23)}. Which set is the inverse relation R^-1?

A.{(3, 1), (5, 2), (7, 3), (11, 4), (23, 5)}
B.{(1, 3), (2, 5), (3, 7), (4, 11), (5, 23)}
C.{(1, 2), (3, 4), (5, 6), (7, 8), (9, 10)}
D.{(-1, -3), (-2, -5), (-3, -7), (-4, -11), (-5, -23)}

መልሱንና ምክንያቱን ያሳዩ

መልስ፦ A {(3, 1), (5, 2), (7, 3), (11, 4), (23, 5)}

ምክንያቱ

To form the inverse, swap the order of the two components in each ordered pair. For example, (1, 3) becomes (3, 1). Doing this for all five pairs gives option A.

ጥያቄ 3

Which of the following is not a power function?

A.f(x) = 3x2
B.g(x) = 5x3
C.n(x) = -4x-3
D.h(x) = 2x

መልሱንና ምክንያቱን ያሳዩ

መልስ፦ D h(x) = 2x

ምክንያቱ

A power function has the form f(x) = ax^r, where a is a nonzero real number and r is a real number. In h(x) = 2^x, the variable is in the exponent, so it is an exponential function, not a power function. The other three have the form a times x to a power.

ጥያቄ 4

Using the vertical line test, a vertical line cuts the graph of a relation at two different points. What does this tell you?

A.The relation is a function.
B.The relation is not a function.
C.The relation has no domain.
D.The relation is its own inverse.

መልሱንና ምክንያቱን ያሳዩ

መልስ፦ B The relation is not a function.

ምክንያቱ

A set of points represents a function if and only if no two points are on the same vertical line. If a vertical line touches the graph twice, one first coordinate has two second coordinates, so the relation is not a function.

ጥያቄ 5

Abebe buys teff at a shop in Addis Ababa. The relation R = {(2, 80), (3, 120), (2, 95), (4, 160)} lists pairs of (kilograms of teff, birr paid). Is R a function?

A.Yes, because every first component appears only once.
B.Yes, because the second components are all different.
C.No, because 2 is paired with both 80 and 95.
D.No, because 4 is paired with 160.

መልሱንና ምክንያቱን ያሳዩ

መልስ፦ C No, because 2 is paired with both 80 and 95.

ምክንያቱ

A relation is a function when each first component is related to exactly one second component. Here the first component 2 is paired with two different values, 80 and 95. So R is not a function. The pair (4, 160) does not cause the problem.

ጥያቄ 6

Let R = {(x, y) : y = x² and x is in {-2, -1, 0, 1, 2}}. Find the range of R.

A.{-2, -1, 0, 1, 2}
B.{0, 1, 4}
C.{1, 4}
D.{-4, -1, 0, 1, 4}

መልሱንና ምክንያቱን ያሳዩ

መልስ፦ B {0, 1, 4}

ምክንያቱ

Substitute each x value. (-2, 4), (-1, 1), (0, 0), (1, 1) and (2, 4) are the elements of R. The second coordinates are 4, 1, 0, 1 and 4. Written as a set without repeats, the range is {0, 1, 4}.

ጥያቄ 7

What is the range of the power function f(x) = x⁴?

A.R, all real numbers
B.(0, ∞)
C.[0, ∞)
D.[0, 4]

መልሱንና ምክንያቱን ያሳዩ

መልስ፦ C [0, ∞)

ምክንያቱ

For an even natural number n, the function xⁿ has domain R and range [0, ∞). Since 4 is even, f(x) = x⁴ has range [0, ∞). The range includes 0, because x = 0 gives 0.

ጥያቄ 8

A square is cut out of a cardboard. Each side has length x. Which function gives the area of the square in terms of x?

A.A(x) = 4x
B.A(x) = x2
C.A(x) = x3
D.A(x) = 2x2

መልሱንና ምክንያቱን ያሳዩ

መልስ፦ B A(x) = x2

ምክንያቱ

The area of a square is side times side, so the area is x times x, which is x². This is a power function with a = 1 and r = 2. The value 4x would be the perimeter, not the area.

ጥያቄ 9

Let R = {(x, y) : x, y ∈ R and y = 3x - 5}. Find the inverse relation R^-1, written as a formula for y in terms of x.

A.y = (x + 5)/3
B.y = 3x + 5
C.y = (x - 5)/3
D.y = x/3 - 5

መልሱንና ምክንያቱን ያሳዩ

መልስ፦ A y = (x + 5)/3

ምክንያቱ

To find the inverse, swap x and y to get x = 3y - 5. Then solve for y: add 5 to both sides to get x + 5 = 3y, and divide by 3 to get y = (x + 5)/3. Option C is wrong because the 5 must be added, not subtracted.

ጥያቄ 10

Let R = {(-3, 2), (-2, 3), (-1, 4), (0, 5), (1, 6), (2, 7), (3, 8)}. Find the domain and the range of R^-1.

A.Domain {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}; range {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}
B.Domain {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}; range {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
C.Domain {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}; range {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}
D.Domain {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}; range {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

መልሱንና ምክንያቱን ያሳዩ

መልስ፦ A Domain {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}; range {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}

ምክንያቱ

The domain of the inverse is the range of R, and the range of the inverse is the domain of R. The range of R is {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, and the domain of R is {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}. So the domain of R^-1 is {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} and its range is {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}.

መተግበሪያው በዚህ ምዕራፍ ላይ 12 ጥያቄዎች አሉት፤ እየሠሩ ያርምዎታል። እዚህ ያሉት የመጀመሪያዎቹ 10 ናቸው።