የምዕራፍ ማስታወሻዎችና የመልመጃ ጥያቄዎች

የ10ኛ ክፍል ሒሳብ ምዕራፍ 2፦ Polynomial ተግባራት

በዚህ ገጽ ያለው ሁሉ ለ10ኛ ክፍል የሒሳብ መፅሐፍ ምዕራፍ 2 ነው፦ ምዕራፉ የሚሸፍነው፣ አጭር ማስታወሻዎቹ፣ የመልመጃ ጥያቄዎች ከመልሶቻቸው ጋር፣ እና ቪዲዮ ባለበት የትምህርቱ ቪዲዮ።

5
ካርዶች: 10
የምዕራፍ 2 የመልመጃ ጥያቄዎች: 65–115
የምዕራፍ 2 የመፅሐፍ ገጾች

ምዕራፍ 2 የሚሸፍነው

1.Introduction of polynomial functions
2.Operations on polynomial functions
3.Theorem on polynomial functions
4.Zeros of polynomial functions
5.Graphs of polynomial functions
6.Applications

የምዕራፍ 2 አጭር ማስታወሻዎች

በ10ኛ ክፍል የሒሳብ ገጽ ላይ በዚህ ምዕራፍ ሥር የተመዘገቡት ካርዶች። አንድ በአንድ ይክፈቱ።

የፖሊኖሚያል ግራፍ ጫፎች ጠባይየማጣቀሻ ሠንጠረዥOdd · Even

Degree	Leading Coefficient	የግራ ጫፍ አቅጣጫ	የቀኝ ጫፍ አቅጣጫ
Odd	$a_n > 0$	Downwards	Upwards
Odd	$a_n < 0$	Upwards	Downwards
Even	$a_n > 0$	Upwards	Upwards
Even	$a_n < 0$	Downwards	Downwards

መቼ እንደሚጠቀሙበት

የፖሊኖሚያል ግራፍ ወደ ግራ እና ወደ ቀኝ ጫፎች ወዴት እንደሚያቀና በdegree እና በleading coefficient አማካኝነት ለመወሰን ይጠቀሙበት።

ይጠንቀቁ

የፖሊኖሚያል ግራፍ ምንጊዜም ለስላሳ እና ቀጣይ ነው፤ ሹል ጥግ፣ ዝላይ ወይም ክፍተት የለውም።

ከGrade 10 Mathematics፣ ገጽ 66-116 የተዘጋጀ፤ ከመውጣቱ በፊት ሁለት ጊዜ ተረጋግጧል

የፖሊኖሚያል ማካፈል ቴዎሬምቀመር

f(x) = d(x)q(x) + r(x)

f(x) = d(x)q(x) + r(x)

$f(x)$: ተካፋይ polynomial $dimensionless$
$d(x)$: ዜሮ ያልሆነ አካፋይ polynomial $dimensionless$
$q(x)$: ድርሻ polynomial $dimensionless$
$r(x)$: ቀሪ polynomial, degree ከአካፋዩ የሚያንስ ወይም ዜሮ የሆነ $dimensionless$

መቼ እንደሚጠቀሙበት

ፖሊኖሚያልን በረጅም ማካፈል ወቅት ተካፋዩን በአካፋይ፣ በድርሻ እና በቀሪ ለመግለጽ ይጠቀሙበት።

ይጠንቀቁ

ማካፈሉን ማቆም ያለብዎት የቀሪው degree ከአካፋዩ degree ሲያንስ ወይም ቀሪው ዜሮ ሲሆን ብቻ ነው።

ከGrade 10 Mathematics፣ ገጽ 66-116 የተዘጋጀ፤ ከመውጣቱ በፊት ሁለት ጊዜ ተረጋግጧል

የራሽናል ዜሮዎች ፍተሻ ዘዴዘዴ

መቼ እንደሚጠቀሙበት

ኢንቲጀር coefficients ላለው የፖሊኖሚያል ፈንክሽን ሊሆኑ የሚችሉ የራሽናል ዜሮዎችን p/q ለመዘርዘር ይጠቀሙበት።

ይጠንቀቁ

አሃዱ p የconstant term a_0 አካፋይ ሲሆን denominator q ደግሞ የleading coefficient a_n አካፋይ መሆን አለበት።

ከGrade 10 Mathematics፣ ገጽ 66-116 የተዘጋጀ፤ ከመውጣቱ በፊት ሁለት ጊዜ ተረጋግጧል

የቀሪ እና የፋክተር ቴዎሬሞችሕግ

መቼ እንደሚጠቀሙበት

ፖሊኖሚያል f(x) ለ x - c ሲካፈል የሚገኘውን ቀሪ ለማወቅ ወይም f(c) = 0 መሆኑን በማረጋገጥ x - c ፋክተር መሆኑን ለመወሰን ይጠቀሙበት።

ይጠንቀቁ

አካፋዩ x + c ሲሆን f(-c) ማስላት አለብዎት፤ ምክንያቱም መደበኛ ቅርጹ x - (-c) በመሆኑ ነው።

ከGrade 10 Mathematics፣ ገጽ 66-116 የተዘጋጀ፤ ከመውጣቱ በፊት ሁለት ጊዜ ተረጋግጧል

ልዩ ብዜቶችና የማፍረሻ ቀመሮችቀመር

x^{3} + a^{3} = (x+a)(x^{2} - ax + a^{2})

x^{3} + a^{3} = (x+a)(x^{2} - ax + a^{2})

$x$: ተለዋዋጩ፣ ወይም በእሱ ቦታ የሚገባ ማንኛውም አገላለጽ
$a$: ቋሚ ቁጥር ወይም አገላለጽ፤ በቀመሩ ውስጥ በሁሉም ቦታ አንድ ዓይነት
$b$: የሁለተኛ ደረጃ ቀመሩ ውስጥ ያለው ሁለተኛው ቋሚ ቁጥር
$n$: አዎንታዊ ሙሉ ቁጥር፤ በእኩል ኃይሎች ሕግ ውስጥ

አገላለጽ	የፈረሰበት መልክ
$x^{2} - a^{2}$	$(x+a)(x-a)$
$x^{2} + 2ax + a^{2}$	$(x+a)^{2}$
$x^{2} - 2ax + a^{2}$	$(x-a)^{2}$
$x^{2} + (a+b)x + ab$	$(x+a)(x+b)$
$x^{3} + 3ax^{2} + 3a^{2}x + a^{3}$	$(x+a)^{3}$
$x^{3} + a^{3}$	$(x+a)(x^{2} - ax + a^{2})$
$x^{3} - a^{3}$	$(x-a)(x^{2} + ax + a^{2})$
$x^{2n} - a^{2n}$	$(x^{n} - a^{n})(x^{n} + a^{n})$

መቼ እንደሚጠቀሙበት

አንድ አገላለጽ ከእነዚህ ቅርጾች አንዱን ሲመስልና እንደ ብዜት ተጽፎ ሲፈለግ ይጠቀሙ፦ የፖሊኖሚያል እኩልታ ሲፈቱ፣ ክፍልፋይ ሲያሳጥሩ ወይም ከማጥበብዎ በፊት። መጀመሪያ አገላለጹን ከዝርዝሩ ጋር ያነጻጽሩ፤ ቅርጹ ከተገኘ ሙሉውን የሙከራ ፍለጋ ያድናል። የእኩል ኃይሎቹ መስመር በ $x$ ቦታ $x^{n}$ የገባበት የሁለት ካሬዎች ልዩነት ነው፤ ሁለቱ ብዜቶቹም ብዙ ጊዜ ተጨማሪ ይፈርሳሉ።

ይጠንቀቁ

በሦስት ቃል አገላለጹ ውስጥ ያለው ምልክት በቅንፉ ውስጥ ካለው ተቃራኒ ነው። ተማሪዎች የሁለት ቃሉን ምልክት ቀድተው $x^{3} + a^{3} = (x+a)(x^{2} + ax + a^{2})$ ብለው ይጽፋሉ፤ ይህ ስህተት ነው፦ $x = 2$ እና $a = 3$ ያስገቡና 35 ሳይሆን 95 ይሰጣል። የመጨረሻው ቃል በሁለቱም ኪዩቦች ላይ $+a^{2}$ ነው። በዚሁ ገጽ ላይ ውጤት የሚያሳጡ ሁለት ተጨማሪ ነጥቦች አሉ። የሁለት ካሬዎች ድምር $x^{2} + a^{2}$ በእውነተኛ ቁጥሮች ውስጥ አይፈርስም፤ ስለዚህ ፈጽሞ $(x+a)^{2}$ አይደለም። እንዲሁም የ $x^{2} + (a+b)x + ab$ ሕግ የ $x^{2}$ አብዢ 1 መሆንን ይጠይቃል፤ ስለዚህ 2ን እስኪያወጡ ወይም መካከለኛውን ቃል እስኪከፍሉ ድረስ ለ $2x^{2} + 5x + 3$ ምንም አይሠራም።

የምዕራፍ 2 የመልመጃ ጥያቄዎች

በዚህ ምዕራፍ ላይ የተጻፉ 10 የምርጫ ጥያቄዎች፣ እያንዳንዳቸው መልሱና ምክንያቱ አላቸው። መልሱን ከመክፈትዎ በፊት ይሞክሩ። ጥያቄዎቹ በእንግሊዝኛ ናቸው።

ጥያቄ 1

What is the degree of the polynomial function h(x) = -5x⁴ + 8x³ + 2x² - 3x + 7?

A.3
B.4
C.7
D.-5

መልሱንና ምክንያቱን ያሳዩ

መልስ፦ B 4

ምክንያቱ

The degree is the exponent of the highest power of x. Here the highest power is x⁴, so the degree is 4. The number -5 is the leading coefficient, not the degree.

ጥያቄ 2

Which of the following is NOT a polynomial function?

A.f(x) = 2x2 - 9x3 + (5/2)x
B.g(x) = (2 - x)(2 + x)
C.k(y) = √y
D.f(x) = 2x3 + 5x - 1

መልሱንና ምክንያቱን ያሳዩ

መልስ፦ C k(y) = √y

ምክንያቱ

A polynomial function must be written with only non-negative whole number powers of the variable. In k(y) = √y, the variable y is inside a radical sign, so it cannot be written in polynomial form. The other three can all be written in the polynomial form.

ጥያቄ 3

What is the domain of every polynomial function?

A.All real numbers
B.All positive numbers only
C.All integers only
D.Only x greater than or equal to 0

መልሱንና ምክንያቱን ያሳዩ

መልስ፦ A All real numbers

ምክንያቱ

The chapter says that the domain of a polynomial function is all real numbers. You can put any real number into a polynomial.

ጥያቄ 4

What is the constant term of the polynomial function f(x) = 12x³ - 9x² + 3x + 4?

A.12
B.-9
C.3
D.4

መልሱንና ምክንያቱን ያሳዩ

መልስ፦ D 4

ምክንያቱ

The constant term is the term that has no x in it. In this function it is +4. The number 12 is the leading coefficient, and it is not the constant term.

ጥያቄ 5

Let f(x) = 2x⁴ + 5x³ + x² + 9x + 4 and g(x) = -3x³ + 5x² - 5x - 9. Find (f + g)(x).

A.2x4 + 2x3 + 6x2 + 4x - 5
B.2x4 + 8x3 + 6x2 + 4x - 5
C.2x4 + 2x3 + 6x2 + 14x - 5
D.2x4 + 2x3 - 4x2 + 4x - 5

መልሱንና ምክንያቱን ያሳዩ

መልስ፦ A 2x4 + 2x3 + 6x2 + 4x - 5

ምክንያቱ

To add polynomials, add the coefficients of like terms.

x⁴: 2. x³: 5 + (-3) = 2. x²: 1 + 5 = 6. x: 9 + (-5) = 4. Constant: 4 + (-9) = -5.

So (f + g)(x) = 2x⁴ + 2x³ + 6x² + 4x - 5.

ጥያቄ 6

Let f(x) = 2x + 3 and g(x) = 3x² - 5x + 6. Find (f · g)(x).

A.6x3 - x2 - 3x - 18
B.6x3 - 10x2 + 18
C.6x3 - x2 - 3x + 18
D.6x3 + x2 - 3x + 18

መልሱንና ምክንያቱን ያሳዩ

መልስ፦ C 6x3 - x2 - 3x + 18

ምክንያቱ

Multiply each term of one polynomial by every term of the other, then add like terms.

2x(3x² - 5x + 6) = 6x³ - 10x² + 12x.

3(3x² - 5x + 6) = 9x² - 15x + 18.

Adding: 6x³ - x² - 3x + 18.

ጥያቄ 7

Let f(x) = 2x³ + 5x² + 3x + 2. Using the remainder theorem, what is the remainder when f(x) is divided by x + 1?

A.12
B.2
C.-2
D.0

መልሱንና ምክንያቱን ያሳዩ

መልስ፦ B 2

ምክንያቱ

x + 1 = x - (-1), so c = -1. The remainder is f(-1).

f(-1) = 2(-1)³ + 5(-1)² + 3(-1) + 2 = -2 + 5 - 3 + 2 = 2.

The remainder is 2. (The value 12 is f(1), not f(-1).)

ጥያቄ 8

For the function f(x) = x² + 2x - 3, the chapter rewrites it as f(x) = -4 + (x + 1)². What is the turning point of the graph?

A.(1, 0)
B.(-1, -4)
C.(-2, -3)
D.(2, 5)

መልሱንና ምክንያቱን ያሳዩ

መልስ፦ B (-1, -4)

ምክንያቱ

Since (x + 1)² is never negative, the smallest value of f is -4. It happens when (x + 1)² = 0, which means x = -1. The turning point (vertex) is (-1, -4).

ጥያቄ 9

Find the quotient q(x) when 4x³ + 4x² - x + 4 is divided by 2x - 1.