የምዕራፍ ማስታወሻዎችና የመልመጃ ጥያቄዎች

የ10ኛ ክፍል ሒሳብ ምዕራፍ 4፦ Trigonometric ተግባራት

በዚህ ገጽ ያለው ሁሉ ለ10ኛ ክፍል የሒሳብ መፅሐፍ ምዕራፍ 4 ነው፦ ምዕራፉ የሚሸፍነው፣ አጭር ማስታወሻዎቹ፣ የመልመጃ ጥያቄዎች ከመልሶቻቸው ጋር፣ እና ቪዲዮ ባለበት የትምህርቱ ቪዲዮ።

6
ካርዶች: 10
የምዕራፍ 4 የመልመጃ ጥያቄዎች: 186–236
የምዕራፍ 4 የመፅሐፍ ገጾች

ምዕራፍ 4 የሚሸፍነው

1.Radian Measure of angle
2.Basic Trigonometric Function
3.Trigonometric Identities & Equation
4.Application

የምዕራፍ 4 አጭር ማስታወሻዎች

በ10ኛ ክፍል የሒሳብ ገጽ ላይ በዚህ ምዕራፍ ሥር የተመዘገቡት ካርዶች። አንድ በአንድ ይክፈቱ።

የአርክ ርዝመት ቀመርቀመር

l = r \theta

l = r \theta

$l$: የቅስት ርዝመት $\text{m}$
$r$: የክቡ ራዲየስ $\text{m}$
$\theta$: ማዕከላዊ ማዕዘን በራዲያን $\text{rad}$

መቼ እንደሚጠቀሙበት

የክብ ራዲየስ እና ማዕከላዊ አንግል ሲሰጡ የአርክ ርዝመትን ለማስላት ይህንን ቀመር ይጠቀሙ።

ይጠንቀቁ

ማዕከላዊ አንግል ከመሰላቱ በፊት ወደ ራዲያን መቀየር አለበት፤ ዲግሪን በቀጥታ መጠቀም የተሳሳተ ውጤት ይሰጣል።

ከGrade 10 Mathematics፣ ገጽ 187-237 የተዘጋጀ፤ ከመውጣቱ በፊት ሁለት ጊዜ ተረጋግጧል

በአርክ ስሌት ውስጥ የዲግሪ እና ራዲያን መምታታትየተለመደ ስህተት

መቼ እንደሚጠቀሙበት

የአርክ ርዝመት እና የክብ እንቅስቃሴ ችግሮችን በሚሰሩበት ጊዜ ይህንን ስህተት ያረጋግጡ።

ይጠንቀቁ

በቀመር l = r theta ውስጥ አንግሉን በዲግሪ እንዳለ በጭራሽ አይተኩ፤ መጀመሪያ በ pi / 180 ማባዛት አለብዎት።

ከGrade 10 Mathematics፣ ገጽ 187-237 የተዘጋጀ፤ ከመውጣቱ በፊት ሁለት ጊዜ ተረጋግጧል

የዕጥፍ አንግል ሳይን ቀመርቀመር

\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta

\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta

$\theta$: ማዕዘን $\text{rad}$

መቼ እንደሚጠቀሙበት

የአንድን አንግል ሳይን እና ኮሳይን በመጠቀም የዕጥፉን ሳይን ዋጋ ለማስላት ይጠቀሙበት።

ይጠንቀቁ

የ sin 2 theta ዋጋ ከ 2 sin theta ጋር እኩል አይደለም፤ 2 በ sin theta እና በ cos theta መባዛት አለበት።

ከGrade 10 Mathematics፣ ገጽ 187-237 የተዘጋጀ፤ ከመውጣቱ በፊት ሁለት ጊዜ ተረጋግጧል

የፓይታጎራስ ትሪጎኖሜትሪ አንድነትቀመር

\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1

\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1

$\theta$: ማዕዘን $\text{rad}$

መቼ እንደሚጠቀሙበት

የሳይን ወይም የኮሳይን ዋጋ ተሰጥቶ ያልታወቀውን አንዱን ለመፈለግ ይህንን አንድነት ይጠቀሙ።

ይጠንቀቁ

አንግሉ በሚያርፍበት quadrant መሠረት የመጨረሻው ውጤት ፖዘቲቭ ወይም ኔጌቲቭ መሆኑን ማረጋገጥ አይርሱ።

ከGrade 10 Mathematics፣ ገጽ 187-237 የተዘጋጀ፤ ከመውጣቱ በፊት ሁለት ጊዜ ተረጋግጧል

የ Reference Angle በየ Quadrantየማጣቀሻ ሠንጠረዥQuadrant I · Quadrant II · Quadrant III · +1

Quadrant	የአንግል ክልል	የ Reference Angle ቀመር
Quadrant I	$0^\circ < \theta < 90^\circ$	$\theta_R = \theta$
Quadrant II	$90^\circ < \theta < 180^\circ$	$\theta_R = 180^\circ - \theta$
Quadrant III	$180^\circ < \theta < 270^\circ$	$\theta_R = \theta - 180^\circ$
Quadrant IV	$270^\circ < \theta < 360^\circ$	$\theta_R = 360^\circ - \theta$

መቼ እንደሚጠቀሙበት

በመደበኛ ቦታ ላይ ላለ ለማንኛውም አንግል አጣዳፊ reference angle ለማግኘት ይህንን ሰንጠረዥ ይጠቀሙ።

ይጠንቀቁ

ሁልጊዜ መቀነስ ያለበት ከአግድም x-axis (180 ዲግሪ ወይም 360 ዲግሪ) ጋር እንጂ ከቁመት y-axis (90 ዲግሪ ወይም 270 ዲግሪ) ጋር አይደለም።

ከGrade 10 Mathematics፣ ገጽ 187-237 የተዘጋጀ፤ ከመውጣቱ በፊት ሁለት ጊዜ ተረጋግጧል

የsine ሕግ፣ የcosine ሕግና የስፋት ቀመርቀመር

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc\,\cos A

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc\,\cos A

$a,\,b,\,c$: የሦስቱ ጎኖች ርዝመት
$A,\,B,\,C$: ማዕዘናቱ። እያንዳንዱ በተመሳሳይ ፊደል ከተጻፈው ጎን ትይዩ ነው፤ ስለዚህ A ከ a ትይዩ ሆኖ በ b እና በ c መካከል ይገኛል

ቀመር	የሚያገለግለው	የሚሠራበት
$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}$	ሁለት ማዕዘንና አንድ ጎን ሲያውቁ፣ ወይም ሁለት ጎንና ከአንዳቸው ትይዩ ያለውን ማዕዘን ሲያውቁ።	በማንኛውም ሦስት ማዕዘን።
$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc\,\cos A$	ሁለት ጎንና በመካከላቸው ያለውን ማዕዘን ሲያውቁ፤ ሦስተኛውንም ጎን ሲፈልጉ።	በማንኛውም ሦስት ማዕዘን።
$\cos A = \dfrac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2bc}$	ሦስቱንም ጎኖች ሲያውቁና ማዕዘን ሲፈልጉ።	በማንኛውም ሦስት ማዕዘን።
$\text{Area} = \tfrac{1}{2}\,ab\,\sin C$	ሁለት ጎንና በመካከላቸው ያለውን ማዕዘን ሲያውቁ። ያው ሦስት ማዕዘን $\tfrac{1}{2}\,bc\,\sin A$ እና $\tfrac{1}{2}\,ac\,\sin B$ ንም ይሰጣል።	በማንኛውም ሦስት ማዕዘን።
$\sin A = \dfrac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}$	ከማዕዘኑ ትይዩ ያለውን ጎንና hypotenuse ሲያውቁ።	በቀኝ ማዕዘን ሦስት ማዕዘን ብቻ።
$\cos A = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}$	ከማዕዘኑ አጠገብ ያለውን ጎንና hypotenuse ሲያውቁ።	በቀኝ ማዕዘን ሦስት ማዕዘን ብቻ።
$\tan A = \dfrac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}$	ከማዕዘኑ ትይዩ ያለውንና አጠገቡ ያለውን ጎን ሲያውቁ።	በቀኝ ማዕዘን ሦስት ማዕዘን ብቻ።
$a^{2} + b^{2} = c^{2}$	ሁለት ጎን አውቀው ሦስተኛውን ሲፈልጉ። እዚህ ላይ $c$ hypotenuse ነው፤ ማለትም ከቀኝ ማዕዘኑ ትይዩ ያለው ጎን።	በቀኝ ማዕዘን ሦስት ማዕዘን ብቻ። ማዕዘኑ 90 ዲግሪ ሲደረግ የሚገኘው የcosine ሕግ ነው፤ ኮሳይኑ ዜሮ ስለሚሆን።

መቼ እንደሚጠቀሙበት

የሦስት ማዕዘን ጥያቄ ጎኖችንና ማዕዘናትን ሲቀላቅልና ሦስት ማዕዘኑ ቀኝ ማዕዘን ሳይኖረው ይጠቀሙ። የተሰጠዎትን ከሠንጠረዡ ጋር ያዛምዱ፦ ሁለት ማዕዘንና አንድ ጎን የsine ሕግን ይጠይቃል፤ ሁለት ጎንና በመካከላቸው ያለው ማዕዘን ደግሞ የcosine ሕግን ይጠይቃል፤ ያው ጥምረት ስፋቱንም በቀጥታ ይሰጥዎታል።

ይጠንቀቁ

ሁለት ወጥመዶች አሉ፤ ሁለቱም የትኛው ማዕዘን ከየትኞቹ ጎኖች ጋር እንደሚሄድ የሚመለከቱ ናቸው። የcosine ሕግ የሚቀንሰው አንድ ብዜት ነው፦ $2bc\,\cos A$ ን እንደ አንድ መጠን አስልተው ከ $b^{2} + c^{2}$ ይቀንሱ። መጀመሪያ $b^{2} + c^{2} - 2bc$ ን አስልቶ በኋላ በ $\cos A$ ማባዛት በየጊዜው የተለየ ቁጥር ይሰጣል። ሁለተኛ፦ ማዕዘኑ በሚያባዟቸው በሁለቱ ጎኖች መካከል ያለው መሆን አለበት። $\tfrac{1}{2}\,ab\,\sin C$ ስፋት የሆነው $C$ በ $a$ እና በ $b$ መካከል ስለሚገኝ ብቻ ነው፤ በcosine ሕግ ውስጥ ያለው $\cos A$ ደግሞ በ $b$ እና በ $c$ መካከል ያለው ማዕዘን ነው። አንድ ተጨማሪ ነጥብ፦ የsine ሕግ ማዕዘን ሲሰጥዎት ካልኩሌተሩ የሚመልሰው ሹሉን መልስ ብቻ ነው፤ ስለዚህ ከመቀበልዎ በፊት 180 ዲግሪ ሲቀነስ ያ ማዕዘን ለሦስት ማዕዘኑ ይስማማ እንደሆነ ያረጋግጡ።

የምዕራፍ 4 የመልመጃ ጥያቄዎች

በዚህ ምዕራፍ ላይ የተጻፉ 10 የምርጫ ጥያቄዎች፣ እያንዳንዳቸው መልሱና ምክንያቱ አላቸው። መልሱን ከመክፈትዎ በፊት ይሞክሩ። ጥያቄዎቹ በእንግሊዝኛ ናቸው።

ጥያቄ 1

Convert 120° into radians.

A.2π/3
B.3π/2
C.π/3
D.4π/3

መልሱንና ምክንያቱን ያሳዩ

መልስ፦ A 2π/3

ምክንያቱ

Use the rule that π radian = 180°. So 120° = π × 120/180 = 2π/3.

ጥያቄ 2

Convert 4π/3 radian into degrees.

A.180°
B.240°
C.270°
D.300°

መልሱንና ምክንያቱን ያሳዩ

መልስ፦ B 240°

ምክንያቱ

To change radians to degrees, multiply by 180/π. So 4π/3 × 180/π = 4 × 60 = 240°.

ጥያቄ 3

What is the complementary angle of 57°?

A.33°
B.57°
C.123°
D.147°

መልሱንና ምክንያቱን ያሳዩ

መልስ፦ A 33°

ምክንያቱ

Two angles are complementary when they add up to 90°. So the complement of 57° is 90° - 57° = 33°.

ጥያቄ 4

An angle x is in standard position. Sin x is positive and cos x is negative. In which quadrant is angle x?

A.First quadrant
B.Second quadrant
C.Third quadrant
D.Fourth quadrant

መልሱንና ምክንያቱን ያሳዩ

መልስ፦ B Second quadrant

ምክንያቱ

Sin x is positive in the first and second quadrants. Cos x is negative in the second and third quadrants. The only quadrant that fits both is the second quadrant.

ጥያቄ 5

The point P(5, 12) is on the terminal side of angle θ in standard position. What is sin θ?

A.5/13
B.12/13
C.12/5
D.13/12

መልሱንና ምክንያቱን ያሳዩ

መልስ፦ B 12/13

ምክንያቱ

First find the distance r from the origin: r = √(5² + 12²) = √169 = 13. Then sin θ = y/r = 12/13.

ጥያቄ 6

Find the reference angle θR for θ = 245°.

A.25°
B.55°
C.65°
D.115°

መልሱንና ምክንያቱን ያሳዩ

መልስ፦ C 65°

ምክንያቱ

245° is a third quadrant angle (between 180° and 270°). For a third quadrant angle, the reference angle is the angle minus 180°. So θR = 245° - 180° = 65°.

ጥያቄ 7

Which of these angles is NOT co-terminal with 30°?

A.390°
B.-690°
C.750°
D.60°

መልሱንና ምክንያቱን ያሳዩ

መልስ፦ D 60°

ምክንያቱ

Co-terminal angles differ from 30° by a multiple of 360°. 390° = 30° + 360°. -690° = 30° - 720°. 750° = 30° + 720°. But 60° - 30° = 30°, which is not a multiple of 360°, so 60° is not co-terminal with 30°.

ጥያቄ 8

A tall building in Addis Ababa is 40 m high. Abebe stands on top of it and sees a car on the level ground at the foot of the building. The angle of depression to the car is 60°. How far is the car from the base of the building?

A.40√3 m
B.40/√3 m
C.20√3 m
D.40 m

መልሱንና ምክንያቱን ያሳዩ

መልስ፦ B 40/√3 m

ምክንያቱ

The angle of depression equals the angle of elevation from the car, so the angle at the car is 60°. Using tan 60° = height/distance, we get distance = 40/tan 60° = 40/√3 m.

ጥያቄ 9

Angle x is in the third quadrant and sin x = -3/5. What is cos x?

A.-4/5
B.4/5
C.-3/5
D.3/4

መልሱንና ምክንያቱን ያሳዩ

መልስ፦ A -4/5

ምክንያቱ

Use sin²x + cos²x = 1. So cos²x = 1 - (9/25) = 16/25, which gives cos x = ±4/5. In the third quadrant cos x is negative, so cos x = -4/5.

ጥያቄ 10

The minute hand of a watch is 1.5 units long. How far does its tip move in 15 minutes? Use the rule l = rθ.

A.0.75π units
B.1.5π units
C.0.5π units
D.3π units

መልሱንና ምክንያቱን ያሳዩ

መልስ፦ A 0.75π units

ምክንያቱ

In 60 minutes the minute hand makes one full turn, so in 15 minutes it turns 15/60 = 1/4 of a turn. The angle is θ = (1/4) × 2π = π/2. Then l = r × θ = 1.5 × π/2 = 0.75π units.

መተግበሪያው በዚህ ምዕራፍ ላይ 12 ጥያቄዎች አሉት፤ እየሠሩ ያርምዎታል። እዚህ ያሉት የመጀመሪያዎቹ 10 ናቸው።