የምዕራፍ ማስታወሻዎችና የመልመጃ ጥያቄዎች

የ11ኛ ክፍል ሒሳብ ምዕራፍ 4፦ ዲተርሚናንቶች እና ባህሪያቸው

በዚህ ገጽ ያለው ሁሉ ለ11ኛ ክፍል የሒሳብ መፅሐፍ ምዕራፍ 4 ነው፦ ምዕራፉ የሚሸፍነው፣ አጭር ማስታወሻዎቹ፣ የመልመጃ ጥያቄዎች ከመልሶቻቸው ጋር፣ እና ቪዲዮ ባለበት የትምህርቱ ቪዲዮ።

4
ካርዶች: 10
የምዕራፍ 4 የመልመጃ ጥያቄዎች: 207–250
የምዕራፍ 4 የመፅሐፍ ገጾች

ምዕራፍ 4 የሚሸፍነው

1.Determinants of Matrices of Order
2.Minors and Cofactors of Elements of Matrices
3.Properties of Determinants
4.Solutions of Systems of Linear Equations Using Cramer's Rule
5.Applications

የምዕራፍ 4 አጭር ማስታወሻዎች

በ11ኛ ክፍል የሒሳብ ገጽ ላይ በዚህ ምዕራፍ ሥር የተመዘገቡት ካርዶች። አንድ በአንድ ይክፈቱ።

የሶስት ማዕዘን ስፋት በ xy-ጠለልቀመር

\text{Area} = \frac{1}{2} \left| \det \begin{pmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{pmatrix} \right|

\text{Area} = \frac{1}{2} \left| \det \begin{pmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{pmatrix} \right|

$\text{Area}$: የሶስት ማዕዘኑ ስፋት
$x_1, y_1$: የመጀመሪያው ነጥብ መጋጠሚያዎች
$x_2, y_2$: የሁለተኛው ነጥብ መጋጠሚያዎች
$x_3, y_3$: የሦስተኛው ነጥብ መጋጠሚያዎች

መቼ እንደሚጠቀሙበት

የሶስቱ ጫፎች መጋጠሚያዎች በተሰጡ ጊዜ የሶስት ማዕዘኑን ስፋት ለማስላት ይጠቀሙበት።

ይጠንቀቁ

የዲተርሚናንቱ ውጤት አሉታዊ ሊሆን ይችላል። ስፋቱ አዎንታዊ እንዲሆን ሁልጊዜ ፍፁም እሴቱን ይውሰዱ።

ከGrade 11 Mathematics፣ ገጽ 207-250 የተዘጋጀ፤ ከመውጣቱ በፊት ሁለት ጊዜ ተረጋግጧል

ባለአንድ መስመር ነጥቦች መፈተሻቀመር

\det \begin{pmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{pmatrix} = 0

\det \begin{pmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{pmatrix} = 0

$x_1, y_1$: የነጥብ A መጋጠሚያዎች
$x_2, y_2$: የነጥብ B መጋጠሚያዎች
$x_3, y_3$: የነጥብ C መጋጠሚያዎች

መቼ እንደሚጠቀሙበት

ሶስት ነጥቦች በአንድ ቀጥተኛ መስመር ላይ የሚገኙ መሆናቸውን ለማረጋገጥ ይጠቀሙበት።

ይጠንቀቁ

ይህንን ስፋት ከማስላት ጋር አያምታቱ። ነጥቦቹ በአንድ መስመር ላይ እንዲሆኑ ዲተርሚናንቱ የግድ ዜሮ መሆን አለበት።

ከGrade 11 Mathematics፣ ገጽ 207-250 የተዘጋጀ፤ ከመውጣቱ በፊት ሁለት ጊዜ ተረጋግጧል

የሁለት ነጥብ የመስመር እኩልታቀመር

\det \begin{pmatrix} x & y & 1 \\ x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \end{pmatrix} = 0

\det \begin{pmatrix} x & y & 1 \\ x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \end{pmatrix} = 0

$x, y$: በመስመሩ ላይ ያለ ማንኛውንም ነጥብ የሚወክሉ ተለዋዋጮች
$x_1, y_1$: የመጀመሪያው የታወቀ ነጥብ መጋጠሚያዎች
$x_2, y_2$: የሁለተኛው የታወቀ ነጥብ መጋጠሚያዎች

መቼ እንደሚጠቀሙበት

በሁለት የተለያዩ ነጥቦች ውስጥ የሚያልፍ ቀጥተኛ መስመር እኩልታን ለማግኘት ይጠቀሙበት።

ይጠንቀቁ

በመጀመሪያው ረድፍ ላይ ያሉትን x እና y እንደ ተለዋዋጭ ይተዉ። የቁጥር ዋጋዎችን በእነርሱ ቦታ አይተኩ።

ከGrade 11 Mathematics፣ ገጽ 207-250 የተዘጋጀ፤ ከመውጣቱ በፊት ሁለት ጊዜ ተረጋግጧል

የማትሪክስ ተገላቢጦሽ በአድጆይንትቀመር

A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{Adj}(A)

A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{Adj}(A)

$A^{-1}$: የስኩዌር ማትሪክስ A ተገላቢጦሽ
$\det(A)$: የማትሪክስ A ዲተርሚናንት, ዜሮ ያልሆነ
$\text{Adj}(A)$: አድጆይንት ማትሪክስ, የኮፋክተር ማትሪክስ ትራንስፖዝ

መቼ እንደሚጠቀሙበት

ተገላቢጦሽ ያለውን ማትሪክስ ኢንቨርስ በኮፋክተሮች እና ዲተርሚናንት ለማስላት ይጠቀሙበት።

ይጠንቀቁ

አድጆይንት ማትሪክስ የኮፋክተር ማትሪክስ ትራንስፖዝ ነው, ስለዚህ ረድፎች እና አምዶች መለዋወጥ አለባቸው።

ከGrade 11 Mathematics፣ ገጽ 207-250 የተዘጋጀ፤ ከመውጣቱ በፊት ሁለት ጊዜ ተረጋግጧል

የምዕራፍ 4 የመልመጃ ጥያቄዎች

በዚህ ምዕራፍ ላይ የተጻፉ 10 የምርጫ ጥያቄዎች፣ እያንዳንዳቸው መልሱና ምክንያቱ አላቸው። መልሱን ከመክፈትዎ በፊት ይሞክሩ። ጥያቄዎቹ በእንግሊዝኛ ናቸው።

ጥያቄ 1

What is another name for an invertible matrix?

A.A singular matrix
B.A nonsingular matrix
C.A zero matrix
D.A row matrix

መልሱንና ምክንያቱን ያሳዩ

መልስ፦ B A nonsingular matrix

ምክንያቱ

By definition, an invertible matrix is also called a nonsingular matrix, while a matrix that is not invertible is called a singular matrix.

ጥያቄ 2

If A and B are invertible matrices of the same size, which formula correctly gives the inverse of their product, (AB)^-1?

A.A^-1 B^-1
B.B^-1 A^-1
C.(BA)^-1
D.A^t B^t

መልሱንና ምክንያቱን ያሳዩ

መልስ፦ B B^-1 A^-1

ምክንያቱ

According to the properties of invertible matrices, the inverse of the product is reversed: (AB)^-1 = B^-1A^-1.

ጥያቄ 3

Which term describes a diagonal matrix in which all main diagonal elements are equal?

A.Scalar matrix
B.Column matrix
C.Upper triangular matrix
D.Zero matrix

መልሱንና ምክንያቱን ያሳዩ

መልስ፦ A Scalar matrix

ምክንያቱ

A diagonal matrix where all elements along the main diagonal are equal is called a scalar matrix.

ጥያቄ 4

Which of the following is NOT one of the three standard elementary row operations?

A.Swapping two rows
B.Multiplying a row by a non-zero constant
C.Adding a constant multiple of one row to another row
D.Squaring all entries in a single row

መልሱንና ምክንያቱን ያሳዩ

መልስ፦ D Squaring all entries in a single row

ምክንያቱ

The three elementary row operations are swapping rows, scaling a row by a non-zero constant, and pivoting (adding a multiple of one row to another). Squaring entries is not an elementary row operation.

ጥያቄ 5

Given the matrix A = [[1, 1], [1, 2]], what is its inverse A^-1?

A.[[2, -1], [-1, 1]]
B.[[-2, 1], [1, -1]]
C.[[1, -1], [-1, 2]]
D.[[2, 1], [1, 1]]

መልሱንና ምክንያቱን ያሳዩ

መልስ፦ A [[2, -1], [-1, 1]]

ምክንያቱ

Using elementary row operations to reduce (A|I₂), we find that A^-1 = [[2, -1], [-1, 1]].

ጥያቄ 6

If the inverse of matrix A is A^-1 = [[1, 1], [1, 2]], what is the inverse of its transpose, (A^t)^-1?

A.[[2, -1], [-1, 1]]
B.[[1, 1], [1, 2]]
C.[[1, 2], [1, 1]]
D.[[2, 1], [1, 1]]

መልሱንና ምክንያቱን ያሳዩ

መልስ፦ B [[1, 1], [1, 2]]

ምክንያቱ

By the properties of invertible matrices, (A^t)^-1 = (A^-1)^t. Transposing A^-1 = [[1, 1], [1, 2]] gives [[1, 1], [1, 2]].

ጥያቄ 7

Why is the matrix B = [[1, 2], [2, 4]] not invertible?

A.It is not a square matrix.
B.Its entries are all positive numbers.
C.Row reduction of (B|I_2) produces a row of zeros in the left matrix, so it cannot reduce to I_2.
D.Its transpose is equal to itself.

መልሱንና ምክንያቱን ያሳዩ

መልስ፦ C Row reduction of (B|I_2) produces a row of zeros in the left matrix, so it cannot reduce to I_2.

ምክንያቱ

Applying the row operation R₂ → R₂ - 2R₁ transforms the left matrix to have a bottom row of all zeros. Since it cannot be reduced to the identity matrix I₂, matrix B is singular (not invertible).

ጥያቄ 8

A laboratory technician wants to mix a 30% salt solution with a 20% salt solution to obtain 500 liters of a 25% salt solution. How many liters of each solution are needed?

A.200 liters of 30% and 300 liters of 20%
B.250 liters of 30% and 250 liters of 20%
C.150 liters of 30% and 350 liters of 20%
D.100 liters of 30% and 400 liters of 20%

መልሱንና ምክንያቱን ያሳዩ

መልስ፦ B 250 liters of 30% and 250 liters of 20%

ምክንያቱ

Setting up the system: x + y = 500 and 0.3x + 0.2y = 125. Solving this system gives y = 250 liters and x = 250 liters.

ጥያቄ 9

Given the 3x3 matrix C = [[1, 1, 1], [0, 1, 2], [0, 0, 1]], what is its inverse C^-1?

A.[[1, -1, 1], [0, 1, -2], [0, 0, 1]]
B.[[1, 1, -1], [0, 1, 2], [0, 0, 1]]
C.[[1, 0, 0], [-1, 1, 0], [1, -2, 1]]
D.[[-1, 1, -1], [0, -1, 2], [0, 0, -1]]

መልሱንና ምክንያቱን ያሳዩ

መልስ፦ A [[1, -1, 1], [0, 1, -2], [0, 0, 1]]

ምክንያቱ

By augmenting with I₃ and applying row operations (R₁ → R₁ - R₂ and R₂ → R₂ - 2R₃), we obtain C^-1 = [[1, -1, 1], [0, 1, -2], [0, 0, 1]].

ጥያቄ 10

In a triangle, the smallest angle measures 10 degrees more than half of the largest angle. The middle angle measures 12 degrees more than the smallest angle. What are the measures of the three angles?

A.40 degrees, 52 degrees, and 88 degrees
B.47 degrees, 59 degrees, and 74 degrees
C.45 degrees, 57 degrees, and 78 degrees
D.50 degrees, 62 degrees, and 68 degrees

መልሱንና ምክንያቱን ያሳዩ

መልስ፦ B 47 degrees, 59 degrees, and 74 degrees

ምክንያቱ

Let x, y, z be the angles. The equations are x + y + z = 180, x - 0.5z = 10, and -x + y = 12. Solving using row operations yields z = 74 degrees, y = 59 degrees, and x = 47 degrees.