የምዕራፍ ማስታወሻዎችና የመልመጃ ጥያቄዎች

የ12ኛ ክፍል ሒሳብ ምዕራፍ 2፦ የካልኩለስ መግቢያ

በዚህ ገጽ ያለው ሁሉ ለ12ኛ ክፍል የሒሳብ መፅሐፍ ምዕራፍ 2 ነው፦ ምዕራፉ የሚሸፍነው፣ አጭር ማስታወሻዎቹ፣ የመልመጃ ጥያቄዎች ከመልሶቻቸው ጋር፣ እና ቪዲዮ ባለበት የትምህርቱ ቪዲዮ።

4
ካርዶች: 10
የምዕራፍ 2 የመልመጃ ጥያቄዎች: 61–158
የምዕራፍ 2 የመፅሐፍ ገጾች

ምዕራፍ 2 የሚሸፍነው

1.Introduction to Derivatives
2.Application of Derivative
3.Introduction to Integration

የምዕራፍ 2 አጭር ማስታወሻዎች

በ12ኛ ክፍል የሒሳብ ገጽ ላይ በዚህ ምዕራፍ ሥር የተመዘገቡት ካርዶች። አንድ በአንድ ይክፈቱ።

አማካይ የለውጥ መጠንቀመር

\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}

\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}

$\Delta y$: የውጤት ለውጥ $1$
$\Delta x$: የግቤት ለውጥ $1$
$b$: የመጨረሻ የግቤት እሴት $1$
$a$: የመጀመሪያ የግቤት እሴት $1$
$f(b)$: የፈንክሽን እሴት በ b ላይ $1$
$f(a)$: የፈንክሽን እሴት በ a ላይ $1$

መቼ እንደሚጠቀሙበት

በተሰጠ ክፍተት [a, b] ወሰኖች መካከል ያለውን አጠቃላይ የለውጥ መጠን ወይም የሰካንት መስመር ተዳፋት ለማስላት ይጠቀሙበት።

ይጠንቀቁ

የ f(b) - f(a) ልዩነትን ለ a - b አያካፍሉ። በላዩ እና በታችኛው ቁጥር ውስጥ የነጥቦቹ ቅደም ተከተል መመሳሰል አለበት።

ከGrade 12 Mathematics፣ ገጽ 61-158 የተዘጋጀ፤ ከመውጣቱ በፊት ሁለት ጊዜ ተረጋግጧል

የሰካንት እና የታንጀንት መጠኖችን ማምታትየተለመደ ስህተት

መቼ እንደሚጠቀሙበት

በአንድ ክፍተት ውስጥ ያለውን አማካይ ለውጥ እና በተወሰነ ነጥብ ላይ ያለውን ቅጽበታዊ ለውጥ ለመለየት ይጠቀሙበት።

ይጠንቀቁ

ጥያቄው በተወሰነ ነጥብ ላይ ያለውን ቅጽበታዊ መጠን ሲጠይቅ የአማካይ ለውጥ ቀመርን አይጠቀሙ። ቅጽበታዊ ለውጥ h ወደ ዜሮ ሲቃረብ የሚገኘውን ገደብ ማስላት ይጠይቃል።

ከGrade 12 Mathematics፣ ገጽ 61-158 የተዘጋጀ፤ ከመውጣቱ በፊት ሁለት ጊዜ ተረጋግጧል

የለውጥ መጠን ጂኦሜትሪያዊ ትርጉምየማጣቀሻ ሠንጠረዥአዎንታዊ · አሉታዊ · ዜሮ · +1

የተዳፋት እሴት	የግራፉ አቅጣጫ	የፈንክሽኑ ባህሪ
አዎንታዊ	ከግራ ወደ ቀኝ ወደ ላይ ያዘነብላል	እየጨመረ የሚሄድ
አሉታዊ	ከግራ ወደ ቀኝ ወደ ታች ያዘነብላል	እየቀነሰ የሚሄድ
ዜሮ	አግድም መስመር	ቋሚ
ያልተተረጎመ	ቀጥ ያለ ቋሚ መስመር	ያልተተረጎመ

መቼ እንደሚጠቀሙበት

የተዳፋት ወይም የለውጥ መጠን ምልክት ስለ ፈንክሽኑ ግራፍ እና ባህሪ ምን እንደሚያመለክት ለመረዳት ይጠቀሙበት።

ከGrade 12 Mathematics፣ ገጽ 61-158 የተዘጋጀ፤ ከመውጣቱ በፊት ሁለት ጊዜ ተረጋግጧል

ቅጽበታዊ የለውጥ መጠንቀመር

\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}

\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}

$x_0$: ስሌቱ የሚከናወንበት ነጥብ $1$
$h$: የግቤት ጭማሪ $1$
$f(x_0)$: የፈንክሽን እሴት በ x_0 ላይ $1$
$f(x_0 + h)$: የፈንክሽን እሴት በ x_0 + h ላይ $1$

መቼ እንደሚጠቀሙበት

በአንድ የተወሰነ ነጥብ x_0 ላይ ያለውን ትክክለኛ የለውጥ መጠን ወይም የታንጀንት መስመር ተዳፋት ለማግኘት ይጠቀሙበት።

ይጠንቀቁ

አገላለጹን ሳያቃልሉ በፊት h = 0 ብለው አይተኩ፤ ይህ ለዜሮ የማካፈል ስህተት ያስከትላል።

ከGrade 12 Mathematics፣ ገጽ 61-158 የተዘጋጀ፤ ከመውጣቱ በፊት ሁለት ጊዜ ተረጋግጧል

የምዕራፍ 2 የመልመጃ ጥያቄዎች

በዚህ ምዕራፍ ላይ የተጻፉ 10 የምርጫ ጥያቄዎች፣ እያንዳንዳቸው መልሱና ምክንያቱ አላቸው። መልሱን ከመክፈትዎ በፊት ይሞክሩ። ጥያቄዎቹ በእንግሊዝኛ ናቸው።

ጥያቄ 1

Find the rate of change for the pair of points (0, 2) and (2, 2).

A.2
B.0
C.undefined
D.-1

መልሱንና ምክንያቱን ያሳዩ

መልስ፦ B 0

ምክንያቱ

The rate of change is the change in y divided by the change in x. Here the change in y is 2 - 2 = 0, and the change in x is 2 - 0 = 2. So the rate is 0 / 2 = 0. When y does not change, the rate of change is zero.

ጥያቄ 2

Which pair of points has a negative rate of change?

A.(2, 3) and (3, 1)
B.(1, 2) and (3, 4)
C.(0, 2) and (2, 2)
D.(2, 0) and (2, 2)

መልሱንና ምክንያቱን ያሳዩ

መልስ፦ A (2, 3) and (3, 1)

ምክንያቱ

For (2, 3) and (3, 1), the change in y is 1 - 3 = -2 and the change in x is 3 - 2 = 1. The rate is -2 / 1 = -2, which is negative. The y-value goes down as x goes up. The other pairs give positive, zero, or undefined rates.

ጥያቄ 3

A candle in Bahir Dar has a starting length of 10 cm. Thirty minutes after it is lit, the length is 7 cm. What is the average rate of change of the length of the candle?

A.-0.1 cm per minute
B.0.1 cm per minute
C.-3 cm per minute
D.3 cm per minute

መልሱንና ምክንያቱን ያሳዩ

መልስ፦ A -0.1 cm per minute

ምክንያቱ

The change in length is 7 - 10 = -3 cm. The change in time is 30 minutes. The average rate of change is -3 / 30 = -0.1 cm per minute. The minus sign shows the candle is getting shorter.

ጥያቄ 4

Find the average rate of change of f(x) = 3x - 2 on the interval [1, 5].

A.2
B.3
C.4
D.12

መልሱንና ምክንያቱን ያሳዩ

መልስ፦ B 3

ምክንያቱ

First find the function values. f(5) = 3(5) - 2 = 13 and f(1) = 3(1) - 2 = 1. The average rate of change is (f(5) - f(1)) / (5 - 1) = (13 - 1) / 4 = 12 / 4 = 3.

ጥያቄ 5

For the function f(x) = x², the gradient of the tangent line at any point P(a, a²) is 2a. What is the gradient of the tangent line at P(4, 16)?

A.4
B.8
C.16
D.2

መልሱንና ምክንያቱን ያሳዩ

መልስ፦ B 8

ምክንያቱ

The point P(4, 16) has a = 4. Using the formula 2a, the gradient is 2(4) = 8. You can also say the gradient is found by doubling the x-coordinate.

ጥያቄ 6

Use the chain rule to find f'(1) when f(x) = (2x + 1)³.

A.18
B.27
C.54
D.6

መልሱንና ምክንያቱን ያሳዩ

መልስ፦ C 54

ምክንያቱ

Use the chain rule: the derivative of the outside power gives 3(2x + 1)², and the derivative of the inside (2x + 1) is 2. So f'(x) = 3(2x + 1)² * 2 = 6(2x + 1)². At x = 1, 2x + 1 = 3, so f'(1) = 6(3)² = 6(9) = 54.

ጥያቄ 7

Suppose f'(x) < 0 for all x in an interval I. What can you say about f on I?

A.f is increasing on I
B.f is decreasing on I
C.f is constant on I
D.f has a critical number on I

መልሱንና ምክንያቱን ያሳዩ

መልስ፦ B f is decreasing on I

ምክንያቱ

The increasing and decreasing test says that if f'(x) < 0 for all x in the interior of an interval I, then f is decreasing on I. A negative derivative means the graph falls as x moves to the right.

ጥያቄ 8

Evaluate the instantaneous rate of change of f(x) = 6x² - 3 at x = 1.

A.6
B.12
C.-12
D.24

መልሱንና ምክንያቱን ያሳዩ

መልስ፦ B 12

ምክንያቱ

Write f(1 + h) - f(1) = [6(1 + h)² - 3] - [6(1)² - 3] = 12h + 6h². Divide by h to get 12 + 6h. As h gets closer and closer to zero, this approaches 12. So the instantaneous rate of change at x = 1 is 12.

ጥያቄ 9

Use the product rule to find f'(0) when f(x) = (2x + 1)(x² + x - 5).

A.-9
B.9
C.-10
D.1

መልሱንና ምክንያቱን ያሳዩ

መልስ፦ A -9

ምክንያቱ

The product rule says (uv)' = u'v + uv'. Let u = 2x + 1, so u' = 2, and let v = x² + x - 5, so v' = 2x + 1. Then f'(x) = 2(x² + x - 5) + (2x + 1)(2x + 1). At x = 0, f'(0) = 2(-5) + (1)(1) = -10 + 1 = -9.

ጥያቄ 10

The biomass of a bacterial culture in milligrams, as a function of time t in minutes, is f(t) = 71t³ + 63. What is the instantaneous rate of growth of the culture when t = 2 minutes?

A.213 mg/min
B.852 mg/min
C.426 mg/min
D.71 mg/min

መልሱንና ምክንያቱን ያሳዩ

መልስ፦ B 852 mg/min

ምክንያቱ

The derivative of 71t³ + 63 is f'(t) = 213t². At t = 2, f'(2) = 213(2)² = 213(4) = 852. The rate is positive, so it is a rate of growth. The answer is 852 mg/min.

መተግበሪያው በዚህ ምዕራፍ ላይ 11 ጥያቄዎች አሉት፤ እየሠሩ ያርምዎታል። እዚህ ያሉት የመጀመሪያዎቹ 10 ናቸው።